পিকের উপপাদ্য#
স্ব-ছেদবিহীন একটি পলিগনকে ল্যাটিস পলিগন বলা হয় যদি এর সব শীর্ষবিন্দুর কোনো ২D গ্রিডে পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক থাকে। পিকের উপপাদ্য এই পলিগনের ক্ষেত্রফল গণনার একটি উপায় দেয় — সীমানায় অবস্থিত শীর্ষবিন্দু সংখ্যা এবং পলিগনের সম্পূর্ণ ভেতরে অবস্থিত শীর্ষবিন্দু সংখ্যার মাধ্যমে।
সূত্র#
শূন্য-নয় ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি নির্দিষ্ট ল্যাটিস পলিগন দেওয়া আছে।
এর ক্ষেত্রফলকে $S$, পলিগনের সম্পূর্ণ ভেতরে অবস্থিত পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্কের বিন্দু সংখ্যাকে $I$ এবং পলিগনের বাহুতে অবস্থিত বিন্দু সংখ্যাকে $B$ দিয়ে বোঝাই।
তখন, পিকের সূত্র বলে:
$$S=I+\frac{B}{2}-1$$বিশেষ করে, যদি একটি পলিগনের $I$ ও $B$-এর মান দেওয়া থাকে, শীর্ষবিন্দু না জেনেও $O(1)$-এ ক্ষেত্রফল গণনা করা যায়।
এই সূত্রটি ১৮৯৯ সালে অস্ট্রিয়ান গণিতবিদ Georg Alexander Pick আবিষ্কার ও প্রমাণ করেছিলেন।
প্রমাণ#
প্রমাণটি অনেক ধাপে সম্পন্ন হয়: সরল পলিগন থেকে যেকোনো পলিগনে:
একটি একক বর্গক্ষেত্র: $S=1, I=0, B=4$, যা সূত্রটি সন্তুষ্ট করে।
স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল বাহু বিশিষ্ট একটি যেকোনো অ-অধঃপতিত আয়তক্ষেত্র: ধরি $a$ ও $b$ আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য। তখন, $S=ab, I=(a-1)(b-1), B=2(a+b)$। প্রতিস্থাপন করে আমরা দেখি সূত্রটি সত্য।
অক্ষের সমান্তরাল পা বিশিষ্ট একটি সমকোণী ত্রিভুজ: এটি প্রমাণ করতে, লক্ষ্য করুন যে এমন যেকোনো ত্রিভুজ একটি আয়তক্ষেত্র থেকে কর্ণ দিয়ে কেটে পাওয়া যায়। কর্ণের উপরে অবস্থিত পূর্ণসংখ্যা বিন্দু সংখ্যাকে $c$ দিয়ে বোঝালে, $c$ যাই হোক পিকের সূত্র এই ত্রিভুজের জন্য সত্য দেখানো যায়।
যেকোনো ত্রিভুজ: লক্ষ্য করুন যেকোনো ত্রিভুজকে অক্ষের সমান্তরাল পা বিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ যুক্ত করে একটি আয়তক্ষেত্রে পরিণত করা যায় (আপনার ৩টির বেশি এমন ত্রিভুজ লাগবে না)। এখান থেকে, আমরা যেকোনো ত্রিভুজের জন্য সঠিক সূত্র পেতে পারি।
যেকোনো পলিগন: এটি প্রমাণ করতে, ত্রিভুজায়ন করুন, অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক বিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করুন। এরপর, প্রমাণ করা সম্ভব যে পিকের উপপাদ্য তখনও বৈধ থাকে যখন একটি পলিগনের সাথে একটি ত্রিভুজ যোগ করা হয়। সুতরাং, আমরা যেকোনো পলিগনের জন্য পিকের সূত্র প্রমাণ করলাম।
উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ#
দুর্ভাগ্যবশত, এই সরল ও সুন্দর সূত্রটি উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করা যায় না।
John Reeve ১৯৫৭ সালে নিম্নলিখিত শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট একটি চতুস্তলক (রিভ চতুস্তলক) প্রস্তাব করে এটি দেখিয়েছিলেন:
$$A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(1,1,k),$$যেখানে $k$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে। তখন যেকোনো $k$-র জন্য, $ABCD$ চতুস্তলকের ভেতরে কোনো পূর্ণসংখ্যা বিন্দু নেই এবং এর সীমানায় মাত্র $4$ টি বিন্দু আছে, $A, B, C, D$। সুতরাং, ভেতরে ও সীমানায় বিন্দু সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকা সত্ত্বেও আয়তন ও পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল পরিবর্তিত হতে পারে। তাই, পিকের উপপাদ্য সাধারণীকরণের অনুমতি দেয় না।
তবে, উচ্চতর মাত্রায় এখনও এরহার্ট বহুপদী ব্যবহার করে একটি সাধারণীকরণ আছে কিন্তু সেগুলো বেশ জটিল এবং শুধু ভেতরের বিন্দু নয় বরং পলিটোপের সীমানার উপরও নির্ভর করে।
অতিরিক্ত সম্পদ#
পিকের উপপাদ্যের কিছু সরল উদাহরণ ও সরল প্রমাণ পাওয়া যাবে এখানে।