পিকের থিওরেম#
স্ব-ছেদবিহীন একটা পলিগনকে ল্যাটিস পলিগন (lattice polygon) বলা হয় যদি এর সব ভার্টেক্সের (vertex) কোনো ২D গ্রিডে পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক থাকে। পিকের থিওরেম (Pick’s theorem) এই পলিগনের ক্ষেত্রফল গণনার একটা উপায় দেয় — সীমানায় অবস্থিত ভার্টেক্স সংখ্যা এবং পলিগনের সম্পূর্ণ ভেতরে অবস্থিত ভার্টেক্স সংখ্যার মাধ্যমে।
সূত্র#
শূন্য-নয় ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি নির্দিষ্ট ল্যাটিস পলিগন দেওয়া আছে।
এর ক্ষেত্রফলকে $S$, পলিগনের সম্পূর্ণ ভেতরে অবস্থিত পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্কের বিন্দু সংখ্যাকে $I$ এবং পলিগনের বাহুতে অবস্থিত বিন্দু সংখ্যাকে $B$ দিয়ে বোঝাই।
তখন, পিকের সূত্র বলে:
$$S=I+\frac{B}{2}-1$$বিশেষ করে, যদি একটি পলিগনের $I$ ও $B$-এর মান দেওয়া থাকে, ভার্টেক্স না জেনেও $O(1)$-এ ক্ষেত্রফল গণনা করা যায়।
এই সূত্রটি ১৮৯৯ সালে অস্ট্রিয়ান গণিতবিদ Georg Alexander Pick আবিষ্কার ও প্রুফ করেছিলেন।
প্রুফ#
প্রুফটি অনেক ধাপে কমপ্লিট হয়: সরল পলিগন থেকে যেকোনো পলিগনে:
একটা একক বর্গক্ষেত্র: $S=1, I=0, B=4$, যেটা সূত্রটা সন্তুষ্ট করে।
স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল বাহু বিশিষ্ট একটা যেকোনো অ-অধঃপতিত আয়তক্ষেত্র: ধরি $a$ ও $b$ আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য। তখন, $S=ab, I=(a-1)(b-1), B=2(a+b)$। প্রতিস্থাপন করে আমরা দেখি সূত্রটা সত্য।
অক্ষের সমান্তরাল পা বিশিষ্ট একটা সমকোণী ত্রিভুজ: এটা প্রুফ করতে, লক্ষ্য করো যে এমন যেকোনো ত্রিভুজ একটা আয়তক্ষেত্র থেকে কর্ণ দিয়ে কেটে পাওয়া যায়। কর্ণের উপরে অবস্থিত পূর্ণসংখ্যা বিন্দু সংখ্যাকে $c$ দিয়ে বোঝালে, $c$ যাই হোক পিকের সূত্র এই ত্রিভুজের জন্য সত্য দেখানো যায়।
যেকোনো ত্রিভুজ: লক্ষ্য করো যেকোনো ত্রিভুজকে অক্ষের সমান্তরাল পা বিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ যুক্ত করে একটা আয়তক্ষেত্রে পরিণত করা যায় (তোমার ৩টির বেশি এমন ত্রিভুজ লাগবে না)। এখান থেকে, আমরা যেকোনো ত্রিভুজের জন্য সঠিক সূত্র পেতে পারি।
যেকোনো পলিগন: এটা প্রুফ করতে, ত্রিভুজায়ন (triangulation) করো, অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক বিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করো। এরপর, প্রুফ করা সম্ভব যে পিকের থিওরেম তখনও বৈধ থাকে যখন একটা পলিগনের সাথে একটা ত্রিভুজ যোগ করা হয়। তারমানে, আমরা যেকোনো পলিগনের জন্য পিকের সূত্র প্রুফ করলাম।
উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ#
দুর্ভাগ্যবশত, এই সরল ও সুন্দর সূত্রটা উচ্চতর মাত্রায় সাধারণীকরণ করা যায় না।
John Reeve ১৯৫৭ সালে নিচের ভার্টেক্স বিশিষ্ট একটা চতুস্তলক (রিভ চতুস্তলক) প্রস্তাব করে এটা দেখিয়েছিলেন:
$$A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(1,1,k),$$যেখানে $k$ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে। তখন যেকোনো $k$-র জন্য, $ABCD$ চতুস্তলকের ভেতরে কোনো পূর্ণসংখ্যা বিন্দু নেই এবং এর সীমানায় মাত্র $4$ টি বিন্দু আছে, $A, B, C, D$। সুতরাং, ভেতরে ও সীমানায় বিন্দু সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকা সত্ত্বেও আয়তন ও পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল পরিবর্তিত হতে পারে। তাই, পিকের থিওরেম সাধারণীকরণের অনুমতি দেয় না।
তবে, উচ্চতর মাত্রায় এখনও এরহার্ট বহুপদী ব্যবহার করে একটি সাধারণীকরণ আছে কিন্তু সেগুলো বেশ জটিল এবং শুধু ভেতরের বিন্দু নয় বরং পলিটোপের সীমানার উপরও নির্ভর করে।
অতিরিক্ত সম্পদ#
পিকের থিওরেমের কিছু সরল উদাহরণ ও সরল প্রুফ পাওয়া যাবে এখানে।